לפני שאתם קוראים את הפתרון, תוודאו בבקשה שקראתם את
השאלה עצמה וניסיתם להעריך בעצמכם מהו הפתרון.
את הפתרון אני אתן לכם מיד, אבל לפני כן, הנה כמה עובדות רק כדי שכולנו נבין פחות או יותר כמה עובדות מפתח:
***
נניח שאתם הולכים בעיר מרמזור אחד עד לרמזור הבא. מרחק של 200 מטר בערך. זה בערך 3 דקות הליכה.
עכשיו אם נלך 50 רמזורים כאלו, נקבל אורך של עיר גדולה, למשל תל-אביב. ללכת את המרחק הזה יקח לנו 150 דקות, שהן שעתיים וחצי. (או עשר דקות נסיעה באיילון מגלילות ועד קיבוץ גלויות).
לעומת זאת, לקרן אור יקח לעבור את המרחק הזה זמן קצרצר של פחות מ 1 חלקי 20000 של שניה. האור נע מהר מאד. שום דבר לא נע יותר מהר מהאור (אני יודע שיש ניסויים ותיאוריות שרומזים אחרת, אבל שום דבר שאנחנו מכירים מהמציאות היומיומית שלנו לא נע מהר יותר מהאור).
תל אביב. מקור GOOGLE EARTH, תמונה: Digital Globe. ניתן ללחוץ כדי להגדיל.
***
האורך של מדינת ישראל הוא בערך פי 40 מהאורך של ת"א. 420 ק"מ ממטולה עד אילת.
ישראל. מקור GOOGLE EARTH. תמונה: EARTH SAT. ניתן ללחוץ כדי להגדיל.
***
הרוחב של ארצות הברית מחוף לחוף הוא בערך פי 10 מהאורך של מדינת ישראל. ללכת מחוף לחוף את כל האורך של ארצות הברית בלי לישון ואפילו בלי לעצור לשירותים יקח לנו 1000 שעות שהן קצת פחות מ 42 ימים. האור עובר את המרחק הזה בקצת יותר ממאית השניה. ארצות הברית היא מאד גדולה, אבל האור נע במהירות עצומה.
***
המרחק בין כדור הארץ לירח הוא כמעט פי 100 מהרוחב של ארצות הברית. יקח לנו בערך 11 שנה ללכת עד לירח. קרן אור מגיעה מכדור הארץ לירח תוך 1.3 שניות.
יחסית למרחקים שאנחנו מכירים על כדור הארץ, הירח הוא מאד רחוק, אבל האור עובר את המרחק הזה בשניה ושליש.
***
פלוטו הוא כוכב הלכת הרחוק ביותר מאיתנו במערכת השמש. המרחק של פלוטו מכדור הארץ גדול פי 15,000 מאשר המרחק של הירח מאיתנו. הקפיצה בקנה המידה היא גדולה יותר מכל מה שעברנו עד עכשיו. יקח לנו 167,000 שנים ללכת עד פלוטו. נראה לי שעדיף כבר לטוס. אפילו לאור לוקח חמש וחצי שעות להגיע עד לפלוטו. זה לפחות מספר שקל לתפוס, אבל יחסית לשניה ושליש שלוקח לאור להגיע לירח, פלוטו רחוק מאד מאד. (לחצו על התמונה להגדלה)
***
הכוכב הקרוב ביותר אל השמש (ואל כדור הארץ) הוא פרוקסימה קנטאורי. המרחק שלו מאיתנו הוא 4.2 שנות אור, שזה אומר שלאור יקח 4.2 שנים להגיע לשם. מרחק גדול פי 6,700 מהמרחק של פלוטו מאיתנו, שזו עוד קפיצה ענקית בקנה המידה (הרבה יותר מההבדל בין הגודל של תל-אביב לגודל של ישראל למשל - פי 42 בלבד).
אפשר לחכות בקלות את 5 וחצי השעות שלוקח לאור להגיע עד פלוטו, אבל צריך הרבה יותר סבלנות כדי לחכות עד שהאור יגיע לכוכב הכי קרוב למערכת השמש. אפילו הכוכב הכי קרוב אלינו נמצא במרחק עצום מאיתנו.
בגלקסיה שלנו, שביל החלב, יש המון כוכבים מפוזרים בצורה דלילה מאד. למרות שהכוכב הקרוב ביותר אלינו הוא במרחק 4.2 שנות אור, המרחק הממוצע בין כוכב לשכן הכי קרוב שלו בגלקסיה שלנו הוא 10 שנות אור. מכיוון שבשביל החלב יש לפחות 300 ביליון כוכבים (300,000,000,000 כוכבים), הגלקסיה שלנו צריכה להיות מאד מאד גדולה. ההערכה היא שקוטר הגלקסיה שלנו הוא 100,000 שנות אור. זה יותר מפי 20,000 מהמרחק מאיתנו לפרוקסימה.
וזו הקפיצה הכי גדולה בקנה המידה עד עכשיו.
אולי עוד אפשר לחכות 4.2 שנים עד שהאור יגיע אל פרוקסימה קנטאורי, אבל 100,000 שנה זה זמן ארוך מאד. זה זמן ארוך יותר מאשר מאז בני אדם התחילו לגדל יבולים או לבנות בתים לעצמם ועד עכשיו. אי אפשר לחוות אורך זמן כזה, וכנראה שגם לא לתפוס אותו במוחנו. באותו אופן, גם המרחק מצידה האחד של גלקסיית שביל החלב לצידה השני הוא בלתי נתפס.
***
הגלקסיה הגדולה הקרובה אלינו ביותר היא גלקסיית אנדרומדה המפורסמת. היא מאד דומה בגודלה ובצורתה לגלקסיה שלנו, וכמונו נמצאת באותו צביר גלקסיות. גלקסיית אנדרומדה היא הדבר המרוחק ביותר שניתן לראות בעין בלתי מזוינת (ללא משקפת או טלסקופים). לאור שיצא מגלקסיית אנדרומדה לקח 3 מליון שנים להגיע עד אלינו. מרחק גדול פי 30 מקוטר שביל החלב. כשהנצנוץ שאנחנו רואים בלילה התחיל את דרכו, בני אדם לא היו קיימים כלל, והאדם הקדמון עוד לא למד להכין אפילו כלים מאבן.
***
הגלקסיה הרחוקה ביותר שאנו מכירים (התגלתה בשנת 1999) היא בעלת היסט לאדום של 6.68, מה שמרמז שהאור שהיא מפיצה יצא לדרכו כשהיקום שלנו היה רק ב 5% מגילו הנוכחי. אם גיל היקום היום הוא בן 13.7 ביליון שנים, האור מהגלסקיה ההיא נע במשך 13 ביליון שנים כדי להגיע אלינו. זה פי 4,300 מהמרחק מאיתנו לגלקסיית אנדרומדה. עוד קפיצה ענקית בקנה המידה. לפני 13 ביליון שנים ענן הגז והאבק שממנו נוצרה מערכת השמש עדיין לא נוצר בכלל.
***
המרחק הגדול ביותר האפשרי שיכולה לעבור קרן אור הוא אם היא החלה את דרכה כאשר נוצר היקום במפץ הגדול. אמנם בהתחלה קרן האור נספגה מיד במשהו (ונפלטה שוב, ונספגה ונפלטה שוב ושוב), אבל 380,000 שנים מאוחר יותר, הטפרטורות צנחו מספיק כדי שאטומי מימן יוכלו להווצר, מה שגרם ליקום להפוך לשקוף. זה איפשר לאור לנוע ללא הפרעה. אור שנפלט מהיקום הצעיר והלוהט מגיע אלינו עכשיו בצורה של קרינת רקע קוסמית של גלי מיקרו עם היסט גדול מאד לאדום.
קרינת הרקע נעה במשך כמעט 13.7 ביליון (מיליארד) שנים, מרחק שהוא פי 4600 מהמרחק אל גלקסיית אנדרומדה.
***
אוקיי. עכשיו התשובה לחידה:
זוכרים את השאלה? באיזה עובי תהיה ערימת ניר שחתכו אותה לחצי וערמו את שתי הערימות זו על גבי זו 100 פעמים ברציפות?
בכל פעם שחותכים את הערימה ל 2, מספר הדפים בערימה מוכפל: 2x2x2x2... ככה 100 פעמים, או 2 בחזקת 100.
2 בחזקת מאה זה בדיוק 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
בעברית זה: אחד נוניליון, 267 אוקטיליון, 650 ספטיליון, 600 סקסטיליון, 228 קוינטיליון, 229 קוודריליון, 401 טריליון, 496 ביליון, 703 מליון, 205 אלף, ושלוש מאות שבעים ושש.
(קחו מחשבון שמסוגל להציג מספיק ספרות ותוך פחות מדקה תוכלו להגיע למספר הזה פשוט על ידי הכפלה של 2 ב 2 מאה פעמים)
אם נכפיל את המספר הזה בעובי של ניר (0.1 מילימטר) נקבל את גובה הערימה במילימטרים. נחלק ב 1000 ונקבל את גובה הערימה במטרים. ואם נחלק במספר המטרים שיש בשנת אור (9,460,536,000,000,000) נקבל את גובה הערימה בשנות אור.
אם נתחיל בגליון בודד בעובי של עשירית המילימטר ונכפיל את עוביו מאה פעמים, נקבל ערימה בגובה 13.4 ביליון שנות אור.
הערימה תתנשא מכדור הארץ ועד מעבר לגלקסיה הרחוקה ביותר שגילינו אי פעם ושניתן לזהות בעזרת הטלסקופים הכי חזקים שיש לנו. כמעט עד לקצה היקום הנצפה.
חלק מתצפית חלל עמוק - צפון של טלסקופ החלל האבל. כמעט כל נקודות האור כאן הן גלקסיות
אגב, אם נרצה שהערימה שלנו תהיה בגודל של סנטימטר על סנטימטר, נצטרך גליון ניר שגודלו בערך כמו השטח שיוצר המסלול של פלוטו מסביב לשמש. משקל (מסה) של גליון ניר כזה יהיה בערך כמו של כדור הארץ כולו.
מהירות האור בריק היא בערך 300,000 קילומטר בשניה.
כאן למשל, ניתן לראות איך כל חיתוך מגדיל את גובה הערימה (באנגלית).
בבלוג זה
בכל הבלוגים
כינוי:
