אז זהו, שאני לא באמת יודע מה אני עושה

הבלוגרית אנאבל לי~ כתבה "להבין מזה פונקציות" כפריט ברשימה שנקראת "להספיק לפני החושך".

אז ראשית בשביל להבין מה זה פונקציה צריך להבין מה זה קבוצה. קבוצה היא מושג יסוד במתמטיקה ולכן אין לה הגדרה, אך ניתן לתאר אותה באופן אינטואיטיבי כאוסף של עצמים. דוגמא לקבוצה (ועל הדרך, דוגמא לסימון של קבוצה):

קבוצת צבי הנינג'ה. נסמנה ב-A ונכתוב:      

A = {דונטלו,מיכאלנג'לו,רפאל, לאונרדו}

קבוצת המספרים הטבעיים. נסמנה ב-N:

N = (1,2,3,4,5,6,...)

הסימון "..." במקרה הזה בא לסמן שהרשימה ממשיכה בדפוס אותו ניתן להבין.

קבוצת העצמים שבתוך התיק שלי כרגע. נסמנה ב-B:

B = {הקלסר שלי, המפתחות שלי, הקלמר שלי...}

הסימון "..." במקרה הזה באה לסמן שיש עוד פריטים, אבל במקרה הזה לא תוכלו לדעת אלא אם אגיד לכם במפורש.

קבוצת כל הערים בעולם:

C = {חיפה, ברצלונה, מילאנו, אמסטרדם, הרצליה, לונדון, בואנוס איירס...}

(הערה: בקבוצה אין חשיבות לסדר האיברים. אני יכול לשנות את הסדר וזו תישאר אותה קבוצה)

קבוצת כל המדינות בעולם:

E = {בוסניה, ישראל, זימבבואה, קנדה, ספרד, יפן, אוקראינה, בוליביה, גרמניה...} 

עוד קבוצה אחת שאני רוצה להזכיר היא קבוצת המספרים הממשיים, המסומן באות R. אני לא אכנס להגדרה אבל היא מכילה את כל המספרים שעל ציר המספרים.

עכשיו, אפשר להתקדם ולעבור לפונקציות.

הגדרה: (פונקציה)

נניח ש A ו-B שתי קבוצות. אם f היא התאמה המתאימה לכל איבר בקבוצה A (קבוצת התחום) איבר אחד ויחיד ב-B (קבוצת הטווח), היא תיקרא פונקציה, ונסמן:  f : A → B .
 

דוגמאות: (בכל דוגמא הגדרתי התאמה, הבאתי כמה דוגמאות להתאמה ואז כתבתי אם זו פונקציה)

דוגמא א':

ניקח את E - קבוצת כל המדינות בעולם, ואת C - קבוצת כל הערים בעולם. נניח ש-g מתאימה לכל מדינה את עיר הבירה שלה:

לונדון  = (אנגליה)g

פריז = (צרפת)g

מדריד = (ספרד)g

ירושלים   =  (ישראל)g 

   .

   .

   .

g היא פונקציה מ-E ל-C.

g : E → C

דוגמא ב':

ניקח את P - קבוצת כל האנשים בעולם, ואת D - קבוצת כל התאריכים. נגדיר את birthday להיות התאמה שמתאימה לכל איבר ב-P (כלומר, לכל בן אדם) את תאריך בו נולד (שהוא הרי איבר ב-D).

18/01/1971 = (פפ גווארדיולה)birthday 

22/10/1946 = (דוד צילג)birthday 

30/04/1777 = (קארל פרידריך גאוס)birthday 

25/03/1972 = (נפתלי בנט)birthday 

14/08/1981 = (ריי וויליאמס ג'ונסון)birthday 

11/10/1970 = (אילן הייטנר)birthday 

   .

   .

   .

birthday היא פונקציה מ-P ל-D.

birthday : P → D

דוגמא ג':

ניקח שוב את P, קבוצת כל האנשים בעולם. נגדיר את m להיות התאמה המתאימה לכל אדם (איבר ב-P) את אמא (הביולוגית) שלו (גם היא איבר ב-P).

שרה = (יצחק... יענו מהתנ"ך)m

עין גימל = (שין גימל)m

קוני מק'יו = (קוונטין טרנטינו)m

.

.

.

m היא פונקציה מ-P ל-P.

m : P → P

שימו לב! אילולא הייתי מגדיר זאת להיות ספציפית האמא הביולוגית זו לא הייתה פונקציות, כי לילדים מאומצים יש גם אמהות ביולוגיות וגם אמהות מאמצות (ולילדים שאומצו ע"י זוג לסביות יש אפילו 2 אמהות מאמצות), ולפי הגדרה פונקציה זו אך ורק התאמה שמתימה לכל איבר בתחום איבר אחד ויחיד בטווח.

דוגמא ד':

ניקח את שוב את P, קבוצת כל האנשים, ואת C - קבוצת כל הערים. נגדיר את Hometown להיות התאמה בין P ל-C, שמתאימה לכל אדם (ב-P) את העיר שבה הוא גדל (ב-C).

רחובות = (דוד צילג)Hometown

רעננה = (אני)Hometown

ברצלונה = (צ'אבי)Hometown

פתח תקווה = (שין גימל)Homwtown

ראש העין = (שין גימל)Hometown

תל באביב = (שין גימל)Hometown

.

.

.

Hometown היא לא פונקציה. יש ערכים בתחום שמתאים להם יותר מערך אחד בטווח, כמו שין גימל שגדלה בכמה ערים שונות.

דוגמא ה':

ניקח את R, קבוצת המספרים הממשיים. נגדיר את f להיות התאמה בין R ל-R שמתאימה לכל מספר את ריבועו.

1 = (1)f

4 = (2)f

2.25 = (1.5)f

1000000 = (1000)f

.

.

.

f היא פונקציה מ-R ל-R.

f : R → R

במקרה של f ניתן גם לכתוב  נוסחה מפורשת:

f(x) = x²

אם יש שאלות, אשמח לענות עליהן בתיבת התגובות.