| 5/2008
מבצע חיפוש כלה שמנמנה ומאד נשית - סיכום יום 59 + פתרון חידה
תאור המבצע
בכל יום מה-12 במרץ
ועד ה-12 במאי, אני כותב בפוסט יומי מה עשיתי (אם עשיתי) כדי למצא בת-זוג
מתאימה. בנוסף, אם במקרה אתם/ן מכירים מישהי שמתאימה לתאור הזה, אפשר להפנותה לבלוג (לא לתרשם רק מהכותרת, יש לי הרבה דרישות!). לפניות, עדיף לכתוב אלי ישירות לאי-מייל: [email protected] (או להשאיר הודעה כאן. פרטים נוספים על המבצע (הראשון שזה המשכו) אפשר למצא כאן).
סיכום יום 59
היום, מוצ"ש, תיכננתי להיפגש עם חבר, אבל הוא לא יכל לבוא, לכן עשיתי הליכה בת"א במקום, מחר סיכום המבצע, עד אז, אממ"ל.
פתרון החידה התלת-מימדית (חיתוך הגליל עם המישור)
אף אחד/ת לא פתר/ה את החידה התלת-מימדית האחרונה שנתתי, לאחר כשבוע+, אי-לכך אני מביא עכשיו את הפתרון שלי.
כזכור היינו צריכים לתת הצגה פרמטרית של העקומה I1 המהווה את החיתוך בין הגליל C1 לבין המישור P1. הנה שרטוט לתזכורת:
ראשית, נבנה הצגה פרמטרית של המישור P1:
כמוזכר בנוסח החידה, לקחתי שני וקטורים v1 ו-v2,על
המישור כך ששניהם מאונכים לזה ומכאן נובע בפרט שהם בלתי תלויים ליארית
כלומר שבלשון אלגברה לינארית הם פורשים את המישור, כלומר שבהינתן נקודה
כלשהי p על המישור המיוצגת על ע"י וקטור היוצא מראשית הצירים vp, קיימים שני מספרים ממשיים a ו-b כך ש av1+bv2 = vp.
נסתכל על החיתוך של מישור X-Y עם P1, זהו בעצם ישר העובר דרך ראשית הצירים
ששיפועו נתון ע"י (tan(β לכן ניתן לתארו ע"י הנוסחה: (y=x tan(β, נבחר x=1
ונקבל (v1=(1, tan(β), 0, נבחר עכשיו וקטור v2 המאונך לו על ציר Z, למשל (v2=(0, 0, 1 לכן ניתן לתאר את P1 ע"י הקבוצה הבאה של נקודות במרחב:
{ a,b מספרים ממשיים | (a ,a tan(β), b) }.
שנית, נתבונן על הגליל (האינסופי) שנתון ע"י הנוסחה X2+Z2=R2. מי שלמד/ה על מספרים מרוכבים
יודע/ת שניתן להציגם גם בצורה קוטבית (פולרית). אני מציין את זה כי בעצם
מספר מרוכב הוא כמו וקטור במישור. למשל את המספר המרוכב z = 3+4i מייצג
וקטור שאורכו, לפי משפט פיתגורס, שורש ריבועי של 9+16, כלומר 5, והזווית
בינו ובין החלק החיובי של הציר הממשי היא (4/3) γ = arctan (בערך 53
מעלות), לכן נוכל לכתוב את z גם בצורה הבאה: 5 כפול ((cos(γ) + i sin(γ),
נשים לב שאם נשנה את γ (גמא) מ-0 ועד 360 (מעלות) נקבל מעגל שרדיוסו 5.
באופן דומה במרחב דו-מימדי דהיינו מישור, נוכל לתת כך הצגה פרמטרית
(כמצויין בנוסח החידה) של מעגל. נמיר, אם כן, את הנוסחה הנתונה של הגליל (X2+Z2=R2) בהצגה פרמטרית שכזו:
{ y ממשי, R cos(γ) ,y ,R sin(γ)) | 0< γ <=360 ) }
יש לנו כעת שתי הצגות פרמטריות (של המישור P1 ושל הגליל C1), עלינו פשוט
למצא את כל הנקודות המשותפות להן (מה שמכונה "החיתוך"). נתבונן בקבוצה
הראשונה (של P1) אנחנו רואים שהרכיב השני הוא מכפלה של הראשון בטנגנס
ביתא, כמו כן הרכיב השלישי (רכיב ה-Z) אינו תלוי בשניים הראשונים.
בקבוצה השניה (של C1) אפשר לראות שהרכיב השני (רכיב ה-Y) אינו תלוי בשניים
האחרים. נוכל על-כן ליצור קבוצה חדשה המקיימת בו זמנית את האילוצים שציינו
לעיל שתתאר את העקומה I1 עי"י:
{ R cos(γ) ,R cos(γ) tan(β) ,R sin(γ) ) | 0< γ <=360 ) }
וזו התשובה המבוקשת.
לילה טוב לכם/ן קוראי וקוראותי החביבים והחביבות.
| |
|  כינוי:
בן: 63 |
בבלוג זה
בכל הבלוגים
